(Arithmétique) adj. c'est une des branches de la division la plus simple et la plus générale des nombres. Un nombre pair est celui qui se peut exactement diviser par 2.

Tout nombre pair est essentiellement terminé vers la droite par un chiffre pair ou par 0 ; car ceux qui précèdent étant tous des multiples de 10 = 5.2, sont conséquemment divisibles par 2, et jusque-là le nombre est pair. Pour qu'il reste tel, il faut donc que le dernier chiffre ait lui-même la propriété, ou du-moins qu'il ne l'altère point, c'est-à-dire qu'il soit pair ou 0.

Un nombre pair devient impair par l'addition ou par la soustraction de l'unité ; car dès-là la division exacte par 2 ne peut plus avoir lieu.

Deux nombres sont dits de même nom, quand ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs ; et de différent nom, quand l'un étant pair l'autre est impair. Un nombre pair étant combiné avec un autre nombre quelconque a ; si c'est par addition ou par soustraction, la somme ou la différence sont de même nom que a.

Si c'est par multiplication, le produit est toujours pair.

De-là même il suit qu'un nombre pair ne peut diviser exactement un nombre impair, car il ne peut diviser que ce qu'il a produit.

S'il s'agit d'exaltation et d'extraction, une racine exprimée par un nombre pair donne une puissance de même nom, et réciproquement.

Telles sont les principales propriétés du nombre pair pris en général.

On pourrait demander ici à quel nom il convient de rapporter.... Il est certain qu'il n'est ni nombre pair ni nombre impair, puisqu'il n'est point nombre ni grandeur ; mais à le considérer purement comme signe ou chiffre, on ne peut s'empêcher de reconnaître que tous les caractères de pair lui conviennent parfaitement.

1°. Il détermine à être pair le nombre qu'il termine.

2°. Il devient impair, et même nombre impair par l'addition ou par la soustraction de l'unité.

3°. Il est, par lui-même, et sans être associé à d'autres chiffres, habîle à figurer en certaines progressions arithmétiques, comme dans celle-ci (0. m. 2m. 3m, &c.) et il y figure toujours comme terme pair. En effet, si m est pair, les termes de la progression le sont tous, et par conséquent celui que représente 0 : si m est impair, les termes de la progression ne sont pairs que de deux-en-deux, mais 0 appartient invariablement à la suite des termes pairs.

Mais , ou l'infini, de quel nom sera-t-il ? Dans cette suite, par exemple, (0. 1. 2.... ) le nombre des termes est-il pair ou impair ? On ne peut prendre parti ni d'un ni d'autre côté, qu'on ne s'expose à des objections accablantes. On pourrait dire qu'il n'est ni l'un ni l'autre en particulier, et qu'il est tous les deux ensemble. Si cela n'est pas clair, qu'on fasse attention qu'il s'agit de l'infini.

Ce qu'on ne peut au reste déterminer pour le moins, se détermine avec la plus grande facilité pour le plus. Cette autre suite (-.... -2. -1. 0. 1. 2.... ), infinie des deux côtés, est plus grande que la première. Or il est évident que le nombre des termes y est impair, puisqu'elle a un terme du milieu, autour duquel deux termes quelconques, pris à égale distance chacun de son côté, donnent des sommes égales entr'elles.

Il suit que, si l'on supprime le terme 0, les termes restants seront en nombre pair ; mais on n'en peut rien conclure pour le nom particulier de chacune des deux suites opposées prises séparément, parce qu'une somme paire est tout aussi-bien celle des deux impairs que de deux pairs. Article de M. RALLIER DES OURMES.

PAIR OU NON, (Jeux d'hasard) s'il y a quelque chose qui paraisse communément contestable, c'est qu'au jeu de pair ou non, lorsqu'on vous présente une main fermée pleine de jetons, et que l'on vous demande si le nombre en est pair ou non-pair, il vaut autant répondre l'un que l'autre ; car certainement il y a autant de nombres pairs que d'impairs ; cette raison si simple déterminera tout le monde. Cependant à y regarder de plus près, cela ne se trouve plus ainsi, tant ces sortes de questions sur les probabilités sont délicates. M. de Mairan a trouvé qu'il y avait de l'avantage à dire non-pair plutôt que pair.

Les jetons, cachés dans la main du joueur qui propose le pari, ont été pris au hasard dans un certain tas, que le joueur a pu même prendre tout entier. Supposons que ce tas ne puisse être qu'impair. S'il est 3, le joueur n'y peut prendre que 1 ou 2, ou 3 jetons ; voilà donc deux cas où il prend des nombres impairs, et un seul où il prend un nombre pair. Il y a donc 2 à parier contre 1 pour l'impair, ce qui fait un avantage de 1/2. Si le tas est 5, le joueur y peut prendre trois impairs et seulement deux pairs ; il y a 3 à parier contre 2 pour l'impair, et l'avantage est d'un tiers. De même si le tas est 7, on trouvera que l'avantage de l'impair est 1/4, de sorte que tous les tas impairs, les avantages de l'impair correspondants à chaque tas, seront la suite d'1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, où l'on voit que le tas 1 donnerait un avantage infini, y ayant 1 à parier contre 0, parce que les dénominateurs de toutes ces fractions diminuées de l'unité, expriment le sort du pair contre l'impair.

Si on suppose au contraire que les tas ne puissent être que pairs, il n'y aura aucun avantage ni pour le pair ni pour l'impair, il est visible que dans tous les tas pairs il n'y a pas plus de nombres pairs à prendre que d'impairs, ni d'impairs que de pairs.

Quand on joue, on ne sait si les jetons ont été pris dans un tas pair ou impair, si ce tas a été 2 ou 3, 4 ou 5, etc. et comme il a pu être également l'un ou l'autre, l'avantage de l'impair est diminué de moitié à cause de la possibilité que le tas ait été pair. Ainsi la suite 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, etc. devient 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, etc.

On peut se faire une idée plus sensible de cette petite théorie. Si on imagine un toton à 4 faces, marquées 1, 2, 3, 4, il est évident que quand il tournera, il y a autant à parier qu'il tombera sur une face paire que sur une impaire ; s'il avait 5 faces il en aurait donc une impaire de plus, et par conséquent il y aurait de l'avantage à parier qu'il tomberait sur une face impaire ; mais s'il est permis à un joueur de faire tourner celui de ces deux totons qu'il voudra, certainement l'avantage de l'impair, est la moitié moindre qu'il n'était dans le cas où le seul toton impair aurait tourné ; ce qui fait précisément le cas du jeu de pair ou non.

On voit par la suite 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, etc. ou par l'autre 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, que l'avantage de l'impair Ve toujours en diminuant, selon que les tas ou le nombre de jetons qu'on peut prendre est plus grand. La raison essentielle en est, que 1 étant toujours la différence dont le nombre des impairs excède celui des pairs dans un impair quelconque, cet 1 est toujours moindre par rapport à un plus grand nombre. Ces joueurs si raffinés, qui ont soupçonné quelque avantage pour l'impair, n'y eussent certainement pas soupçonné cette diminution.

Si l'on voulait jouer à jeu égal, il faudrait que le joueur qui présente le pari dit si le tas où il a pris les jetons est pair ou impair ; et dans ce second cas quel impair il est. S'il est dit qu'il est pair, il n'en faut pas davantage pour savoir que le pari est égal, quelque pair que ce sait. S'il dit que le tas est impair, il faut qu'il le détermine ; par exemple 7, afin qu'on sache qu'il y a 1/4 de plus à parier pour l'impair, et que celui qui prend ce parti, mette ce 1/4 de plus que l'autre, qu'il mette 4 contre 3, alors le jeu est parfaitement égal. Nous prenons ici 1/4, avantage de l'impair, dans la première suite, et non dans la seconde, où il serait 1/8, parce que cette seconde suppose que le tas puisse être également pair ou impair, ce qui n'est pas ici.

On voit donc que si au-lieu de l'alternative d'un tas pair ou impair ; on supposait plus de possibilité à l'un qu'à l'autre, ou, ce qui revient au même, 3 tas au-lieu de 2, l'avantage du joueur qui dit non-pair, pourrait diminuer dans un cas, et augmenter dans l'autre. Il diminuerait dans le cas où il pourrait y avoir un seul des 3 tas impair contre 2 pairs ; et il augmenterait au contraire, s'il y avait possibilité de deux tas impairs contre un pair ; par exemple, si le joueur qui présente le pari vous disait, que le tas sur lequel il Ve prendre des jetons, et où vous avez à dire pair ou non, est 6, 7, ou 8, il est évident que la seule possibilité d'un tas qui serait 7, où l'avantage 1/4 qui s'ensuivrait à dire impair, doit être divisé par 3 à cause des trois cas possibles, ce qui donnerait 1/12 plus petit que 1/8 ; comme au contraire si les 3 tas possibles étaient 5, 6, et 7, l'avantage étant alors 1/3 dans le premier cas, 0 dans le second, et 1/4 dans le troisième, on aurait 4/12 plus 0, plus 3/12, qui font 7/12 à diviser par 3, ce qui donnerait 7/36, avantage plus grand que 1/6, et par conséquent que 1/8.

De sorte que l'avantage qu'il y a à dire non-pair dans un nombre de tas possibles quelconques, ou pairs avec non-pairs, ou seulement impairs, sera toujours exprimé par la somme des avantages de chacun des cas possibles, divisée par le nombre des tas, en y comprenant les pairs, s'il y en a, lesquels donnent toujours 0 d'avantage : c'est-là la formule ou la règle générale.

On fait encore cette question, si le joueur qui présente le pari disait, le tas dans lequel j'ai à prendre ne passera pas un certain nombre de jetons, par exemple 7 ou 12, etc. mais il pourra être plus petit à mon choix ; quel est l'avantage qu'il y a alors à dire non-pair ? Il est évident qu'il sera composé du sort ou de l'avantage de tous les tas possibles, depuis 7 ou 12 jusqu'à un inclusivement : ainsi dans la condition qu'il ne peut passer 7, la règle donnera 1/1, plus 0, plus 1/2, divisés par 7, ce qui fait en tout 25/84, près d'un tiers de la mise de celui qui dit impair. Si le plus grand tas possible avait été 12, l'avantage eut été moindre, non-seulement parce que le nombre des tas possibles, où le diviseur eut été plus grand, mais encore parce qu'il aurait pu y avoir autant de tas pairs que d'impairs ; il y aurait donc 147/720, ou environ 1/5 d'avantage à dire impair dans cette supposition.

Entre toutes les objections qu'on peut faire contre l'inégalité du jeu de pair ou non, et la manière ci donnée de l'évaluer, une des plus spécieuses est celle-ci : soit le tas de 3 jetons, selon ce qui a été dit ci-dessus, il y a deux impairs contre un pair, ou 2 contre 1 à parier pour l'impair, et partant 1/2 d'avantage. Cela est vrai, dit-on, à l'égard d'un toton à 3 faces, marquées 1, 2, 3 ; mais il n'en est pas de même du tas des 3 jetons, car je puis prendre chacun de ces jetons seul, ce qui fait trois cas, où tous les trois ensemble, ce qui fait un quatrième cas, et toujours pour l'impair ; et parce que trois choses peuvent être prises deux-à-deux de trois manières différentes, il y aura en même temps trois cas favorables pour le pair, ce qui donne à parier 4 contre 3, ou 1/4 d'avantage, et non 1/2, comme il avait été trouvé.

Mais on doit prendre garde, que de ce que le joueur porte sa main sur le premier, le second, ou le troisième des jetons du tas, il n'en résulte pas trois événements différents, en faveur de l'impair, comme de ce qu'il aura pris le second et le troisième, ou le premier et le second, n'en fait pas deux en faveur du pair, mais un seul et même événement, et une même attente pour les joueurs ; car dès que le hasard ou le caprice, ou quelque raison de prudence, a déterminé celui qui porte sa main sur le tas de 3 jetons, pour y en prendre un ou deux, il n'importe lequel des trois il prenne, cela ne change rien au jeu : et pour rendre ceci plus sensible, il n'y a qu'à remarquer que dans le cas où le joueur prendrait sur un tas de 2 jetons, et où l'on convient que le jeu est parfaitement égal, il y aurait inégalité, et 2 contre 1 pour l'impair, si l'objection avait lieu, puisque par le même raisonnement il pourrait prendre seul l'un ou l'autre des deux jetons pour l'impair, et seulement tous les deux ensemble pour le pair. Le tas de 3 jetons ne donne donc pas quatre possibilités pour l'impair, par rapport au sort et à l'attente des joueurs, mais deux seulement. Les combinaisons, les changements d'ordre, et les configurations des nombres, sont des spéculations applicables en tout ou en partie, aux questions du hasard et du jeu, selon l'hypothèse, et la loi qui en fait le fondement, et il est clair qu'ici la droite ou la gauche, et le premier et le second jeton, ne m'engagent pas plus l'un que l'autre à les prendre seuls ou accompagnés : ce sont donc des circonstances étrangères au sort des joueurs dans la question présente.

Il y aurait plusieurs manières d'introduire l'égalité dans le jeu de pair ou non ; celles qu'on pratique quelquefois se réduisent toutes au cas de 2 jetons, l'un blanc et l'autre noir, comme si le joueur qui présente le pari demandait blanc ou noir. Histoire de l'acad. des Sciences, année 1728. (D.J.)