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Catégorie : Géodésie
S. f. (Ordre encyclopédique, Entendement, Raison, Philosophie ou Science, Science de la nature, Mathématiques, Géométrie, Géodésie) c'est proprement cette partie de la Géométrie pratique qui enseigne à diviser et partager les terres et les champs entre plusieurs propriétaires. Voyez ci-après GEOMETRIE.

Ce mot vient de deux mots grecs, , terra, terre, et , divido, je divise.

Ainsi la Géodésie est proprement l'art de diviser une figure quelconque en un certain nombre de parties. Or cette opération est toujours possible, ou exactement, ou au-moins par approximation. Si la figure est rectiligne, on la divisera d'abord en triangles, qui auront un sommet commun pris où l'on voudra, soit au-dedans de la figure, soit sur la circonférence. On calculera par les méthodes connues l'aire de chacun de ces triangles, et par conséquent on aura la valeur de chaque partie de la surface, et on connaitra par-là de quelle manière il faut diviser la figure ; toute la difficulté se réduira dans tous les cas à diviser un triangle en raison donnée. C'est ce qu'il est nécessaire de développer un peu plus au long.

Sait proposé, par exemple, de diviser un hexagone par une ligne qui parte d'un de ses angles, en deux parties qui soient entr'elles comme m à n ; on divisera d'abord cet hexagone en quatre triangles par des lignes qui partent du point donné ; ensuite soit A l'aire de l'hexagone, et p A, q A, r A, s A, l'aire de chacun des triangles ; comme les aires des deux parties cherchées doivent être m A et n A, supposons que soit > m/n, il s'ensuit qu'il faudra prendre dans le triangle q A une partie x A, telle que soit = m/n ; d'où l'on tire (p + q) n - (r + s) m = m x + n Xe et par conséquent x = . Il s'agit donc de diviser le triangle q A en deux parties x A et (q - Xe A, qui soient entr'elles comme x est à q - Xe et par conséquent en raison donnée, puisque x est connue par l'équation qu'on vient de trouver. Or pour cela il suffit de diviser le côté de l'hexagone qui est la base de ce triangle q A, en deux parties, qui soient entre elles comme x à q - x ; opération très-facile. Voyez TRIANGLE.

Le problème n'aurait pas plus de difficulté, si le point donné était non au sommet des angles, mais sur un des côtés de la figure à volonté.

Si la figure que l'on propose de diviser est curviligne, on peut quelquefois la diviser géométriquement en raison donnée, mais cela est rare ; et en général la méthode la plus simple dans la pratique consiste à diviser la circonférence de la figure en parties sensiblement rectilignes, à regarder par conséquent la figure comme rectiligne, et à la diviser ensuite selon la méthode précédente.

Quelquefois, au lieu de diviser un triangle en raison donnée par une ligne qui passe par le sommet, il s'agit de le diviser en raison donnée par une ligne qui passe par un point placé hors du sommet, soit sur l'un des côtés, soit au-dedans du triangle, soit au-dehors ; alors le problème est un peu plus difficîle ; mais la Géométrie, aidée de l'Analyse, fournit des moyens de le résoudre. Voyez dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie de M. Guisnée la solution des problèmes du second degré, vous y trouverez celui dont il s'agit. Il est résolu et expliqué fort en détail ; et il servira, comme on le Ve voir, à diviser une figure quelconque en raison donnée par une ligne menée d'un point donné quelconque.

Si le point par lequel passe la ligne qui doit diviser une figure quelconque en raison donnée, est situé au-dedans ou au-dehors de la figure, alors il est évident que le problème peut avoir plusieurs solutions, au-moins dans un grand nombre de cas, et quelquefois être impossible. Pour le sentir, il suffit de remarquer que si la figure, par exemple, est régulière et d'un nombre pair de côtés, que le point donné soit le centre, et qu'il faille diviser la figure en deux parties égales, le problème est indéterminé, puisque toute ligne tirée par le centre résoudra ce problème ; que si les deux parties doivent être inégales, le problème est impossible ; et que si dans ce dernier cas le point est placé hors de la figure, soit régulière, soit irrégulière, le problème a toujours deux solutions, dont l'une s'exécutera par une ligne tirée à droite, et l'autre à gauche, toutes deux partant du point donné. Or menant du point donné à tous les angles de la figure des lignes, qui prolongées, s'il est nécessaire, au-dedans de la figure, partagent cette figure en quadrilatères, ce qui est toujours possible, on voit évidemment que, comme la question s'est réduite dans le premier cas à partager un triangle en raison donnée, par une ligne qui parte d'un point donné ; de même la question se réduit ici, après avoir calculé séparément les surfaces de tous ces quadrilatères, à partager l'un d'eux en raison donnée par une ligne tirée du point donné. Il y a donc ici trois choses à trouver, 1°. quel est le quadrilatère qu'il faut partager ; 2°. quelle est la raison suivant laquelle il faut le partager ; 3°. comment on partage un quadrilatère en raison donnée par une ligne menée d'un point donné, qui se trouve au concours des deux côtés du quadrilatère. Les deux premiers de ces problèmes se résoudront par une méthode exactement semblable à celle qu'on a donnée ci-dessus, pour le cas de la division de la figure en triangles. Le troisième demande un calcul analytique fort simple, et tout à fait analogue à celui que M. Guisnée a employé pour résoudre le même problème par rapport au triangle. Nous y renvoyons le lecteur, afin de lui laisser quelque sujet de s'exercer à l'analyse géométrique ; mais si l'on veut se dispenser de cette peine, on pourra réduire le problème dont il s'agit, au cas de la division du triangle de la manière suivante. On prolongera les deux côtés du quadrilatère qui ne concourront pas au point donné, et on formera un triangle extérieur au quadrilatère qui aura un des autres côtés du quadrilatère pour base, et qui sera avec le quadrilatère en raison donnée de k à 1, k étant un nombre quelconque entier ou rompu. Cela posé, soient p A, q A les deux parties dans lesquelles il faut diviser le quadrilatère, il est évident que le quadrilatère total sera p A + q A ; que le triangle sera k (p A + q A), et que le triangle joint au quadrilatère (ce qui formera un nouveau triangle qui aura le quatrième côté du quadrilatère pour base), sera (k + 1) (p A + q A). Il s'agit donc, en menant une ligne par le point donné, de diviser ce triangle en deux parties, dont l'une soit k (p A + q A) + p A, et l'autre q A ; c'est-à-dire que le problème se réduit à diviser un triangle connu et donné, en deux parties qui soient entr'elles comme k (p + q) + p est à q, par une ligne qui passe par un point donné hors du triangle : or on a dit ci-dessus comment on peut résoudre ce problème.

Si le point donné est placé dans la figure, on menera par ce point à tous les angles de la figure, des lignes terminées de part et d'autre à cette figure ; et on divisera par ce moyen la figure en triangles dont chacun aura son opposé au sommet. Cela posé, on cherchera les aires de ces triangles, et on aura les aires de chaque partie de la figure terminées par une des lignes tirées du point donné ; lignes qu'on peut appeler, quoiqu'improprement, diamètres de la figure. Connaissant ces aires, on cherchera quels sont les deux diamètres voisins qui divisent la figure, l'un en plus grande raison, l'autre en plus petite raison que la raison donnée ; et par-là on saura que la ligne cherchée doit passer dans l'angle formé par ces deux diamètres : et comme il peut y avoir plusieurs diamètres voisins qui divisent ainsi la figure, l'un en plus grande raison, l'autre en plus petite raison que la raison donnée, il s'ensuit que le problème aura autant de solutions possibles qu'il y aura de tels diamètres. Cela posé, soit A l'aire de la figure totale ; p A l'aire d'un des triangles formé par les deux diamètres voisins ; q A l'aire du triangle opposé au sommet de celui-ci, et que je suppose lui être inférieur ; m A l'aire de la partie de la figure qui est à droite de ces deux triangles ; n A l'aire de la partie qui est à gauche, on aura m A + p A + n A + q A pour l'aire de la figure entière ; en sorte que m + p + n + q sera = 1, et il sera question de mener entre les deux diamètres donnés, et par le point donné où ces diamètres se coupent, une ligne qui divise les deux triangles opposés au sommet en deux parties ; savoir x A et p A - x A, d'une part, et de l'autre z A et q A - z A, et qui soient telles que m A + p A - x A + z A soit à n A + q A - z A + x A en raison donnée, par exemple de s à 1, que nous supposons être la raison demandée. On aura donc, 1° m + p - x + z : n + q - z + x : : s. 1 ; ce qui donnera une première équation entre x et z : or comme les triangles x A et z A sont opposés au sommet, et font partie des triangles donnés et aussi opposés au sommet p A et q A, on trouvera facilement une autre équation générale entre x et z, puisque x A étant connue, z A le sera nécessairement ; c'est pourquoi on aura deux équations en x et en z, par le moyen desquelles on trouvera Xe et il ne s'agira plus que de diviser la base du triangle p A en raison de x à p ; ce qui donnera la solution complete du problème.

S'il fallait diviser une figure en raison donnée, par une ligne qui ne passât pas par un point donné, mais qui fût parallèle à une ligne donnée, on commencerait par diviser la figure en trapézoïdes, par des lignes menées de tous les angles de cette figure, parallèlement à la ligne donnée, et il est évident qu'il ne s'agirait plus que de diviser en raison donnée un de ces trapézoïdes, ce qui serait très-facile.

Voilà la méthode générale pour diviser une figure en raison donnée, méthode qui réussira infailliblement dans tous les cas ; mais cette méthode peut être abrégée en plusieurs occasions, selon la nature de la figure proposée. Ceux qui voudront en trouver des exemples, n'auront qu'à lire le traité de Géométrie sur le terrain, de M. le Clerc, imprimé à la suite de sa Géométrie pratique, ou pratique de la Géométrie sur le papier et sur le terrain, par le même auteur. Ils trouveront dans le chap. Ve de ce traité de Géométrie, des pratiques abrégées pour diviser dans plusieurs cas les figures données en différentes parties. Ce chap. Ve a pour titre, division des plans ; le chap. IVe qui le précède, et qui mérite aussi d'être lu, a pour objet la réduction ou transfiguration des plans, et l'auteur y enseigne principalement à changer en triangle une figure donnée ; ce qu'il exécute pour l'ordinaire fort simplement au moyen de cette proposition, que deux triangles de même base et entre mêmes parallèles, sont égaux. Un coup-d'oeil jeté sur les propositions de ce chap. IVe en apprendra plus que tout ce que nous en pourrions dire. Cette réduction ou changement des figures en triangles est fort utîle à l'auteur, dans le chap. Ve dont il s'agit principalement ici, pour la division des figures ; et il y fait aussi un grand usage de l'égalité des triangles de même base entre mêmes parallèles. Le chap. VIe a aussi rapport à la matière dont nous traitons : il a pour titre, comment on peut assembler les plans, les retrancher les uns des autres, et les agrandir ou les diminuer selon quelque quantité proposée. L'auteur résout les problèmes relatifs à cet objet, avec la même élégance que ceux des deux chapitres qui précèdent.

Cet ouvrage de M. le Clerc, une des meilleures Géométries pratiques que nous connaissions, est devenu rare ; et les gravures agréables dont l'auteur l'a accompagné, le rendent assez cher, eu égard à son volume : il serait à souhaiter qu'on le réimprimât, en supprimant les gravures pour diminuer le prix du livre ; l'utilité de l'ouvrage, et sa clarté, en assureraient le débit. L'édition que nous avons sous les yeux, est celle d'Amsterdam, en 1694, qu'on pourrait prendre pour modèle. On pourrait même se contenter, pour rendre l'ouvrage encore moins cher, de réimprimer le seul traité de Géométrie sur le terrain ; car la Géométrie pratique qui le précède, et qui est imprimée à Amsterdam en 1691, ne contient rien ou presque rien qu'on ne trouve dans la plupart des éléments de Géométrie pratique.

Quoique le mot Géodésie ait principalement l'acception que nous lui avons donnée dans cet article, de la science de partager les terres, cependant il se prend aussi assez communément et en général pour la science pratique de la mesure des terrains, soit quant à leur circonférence, soit quant à leur surface ; mais cette dernière science s'appelle encore plus communément arpentage. Voyez ARPENTAGE.

La Géodésie prise en ce dernier sens, le plus étendu qu'on puisse lui donner, n'est proprement autre chose que la Géométrie pratique, dont elle embrasse toutes les parties ; ainsi les opérations géométriques ou trigonométriques nécessaires pour lever une carte, soit en petit, soit en grand, seront en ce dernier sens des opérations de Géodésie, ou pourront être regardées comme telles. C'est pour cette raison que quelques auteurs ont appelé opérations géodésiques, celles qu'on fait pour trouver la longueur d'un degré terrestre du méridien, ou, en général, d'une portion quelconque du méridien de la terre. Ils les appellent ainsi pour les distinguer des opérations astronomiques, que l'on fait pour trouver l'amplitude de ce même degré. Voyez DEGRE, FIGURE DE LA TERRE, GEOGRAPHIE, GEOGRAPHIQUE, etc. (O)




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