S. f. (Géométrie) courbe qui tire ce nom de ses propriétés et de ses usages dans la construction des logarithmes et dans l'explication de leur théorie.

Si l'on divise la ligne droite A X (Pl. d'Analyse, fig. 37.) en un nombre égal de parties, et que par les points A, P, p, de division, on tire des lignes toutes parallèles entr'elles et continuellement proportionnelles, les extrémités N, M, m, etc. de ces dernières lignes, formeront la ligne courbe appelée logarithmique, de sorte que les abscisses A P, A p, sont ici les logarithmes des ordonnées P M, p m, etc. puisque ces abscisses sont en progression arithmétique pendant que les ordonnées sont en progression géométrique. Donc si A P = Xe A p = u, P M = y, p m = z, et qu'on nomme l y et l z les logarithmes de y et de z, on aura x = l y, u = l z, et par conséquent x/u = .

Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe quelconque, si on nomme s la soutangente, on a - = - . Voyez SOUTANGENTE. Or dans la logarithmique, si on prend d x constant, c'est-à-dire les abscisses en progression arithmétique, dont la différence soit d Xe les ordonnées seront en progression géométrique, et par conséquent les différences de ces ordonnées (voyez PROGRESSION GEOMETRIQUE) seront entr'elles comme les ordonnées ; donc (d y)/y sera constant, d'où sera constant ; donc puisque (hyp.) d x est constant, s le sera aussi ; donc la soutangente de la logarithmique est constante ; j'appelle cette soutangente a.

2°. Si on fait a = 1, on aura d x = ; dont l'intégrale est x = log. y ; et si on suppose un nombre c, tel que son logarithme, soit = 1, on aura x log. c = log. y, et par conséquent log. c x = log. y et y = c Xe Voyez LOGARITHME. C'est-là ce qu'on appelle repasser des logarithmes aux nombres, c'est-à-dire d'une équation logarithmique x = l y, à une équation finie exponentielle y = c Xe Voyez EXPONENTIEL.

3°. Nous avons expliqué au mot EXPONENTIEL ce que signifie cette équation y = c x appliquée à la logarithmique. En général, si dans une même logarithmique on prend quatre ordonnées qui soient en proportion géométrique ; l'abscisse renfermée entre les deux premières sera égale à l'abscisse renfermée entre les deux autres, et le rapport de cette abscisse à la soutangente sera la logarithme du rapport des deux ordonnées. C'est une suite de l'équation = qui donne x/a = log. (y/b), en supposant que y = b, lorsque x = 0.

4°. Si on prend pour l'unité dans la logarithmique l'ordonnée qui est égale à la soutangente, on trouvera que l'abscisse qui répond au nombre 10 (c'est-à-dire à l'ordonnée qui serait égale à dix fois celle qu'on a prise pour l'unité) on trouvera, dis-je, que cette abscisse ou le logarithme de 10 est égal à 2, 30258509 (voyez LOGARITHME), c'est-à-dire que cette abscisse est à la soutangente comme 230258509 est à 100000000 ; c'est sur ce fondement que Kepler avait construit ses tables de logarithmes, et pris 2, 3025850 pour le logarithme de 10.

5°. Mais si on place autrement l'origine de la logarithmique, et de manière que l'ordonnée 1 ne soit plus égale à la soutangente, et que l'abscisse comprise entre les ordonnées 1 et 10 soit égale à 1 ; ce qui se peut toujours supposer, puisqu'on peut placer l'origine des x où l'on voudra, alors le logarithme de 10 sera 1, ou 1, 0000000, etc. et la soutangente sera telle que l'on aura 2, 3025850 à l'unité, comme 1, 0000000 est à la valeur de la soutangente, qui sera par conséquent dans ce cas-ci 1 | 0000000/2 | 3025850 ou 0, 43429488. C'est sur cette supposition que sont calculés les logarithmes de Briggs, qui sont ceux des tables ordinaires.

6°. Dans deux logarithmiques différentes, si on prend des ordonnées proportionnelles, les abscisses correspondantes seront entr'elles comme les soutangentes. C'est encore une suite de l'équation = .

7°. Si dans une même logarithmique on prend trois ordonnées très proches, les différences de ces ordonnées seront entr'elles à très-peu-près comme les différences des abscisses. Car soient y, y', y'', les trois ordonnées, et d Xe d Xe les abscisses, on aura = à très-peu près ; et de même = à très-peu près. Donc puisque y et y' diffèrent très-peu l'une de l'autre, on aura à très-peu près d x : d x': : y'- y : y''- y'.

8°. Comme une progression géométrique s'étend à l'infini des deux côtés de son premier terme, il est évident que la logarithmique s'étend à l'infini le long de son axe A X au-dessus et au-dessous du point A. Il est de plus évident que A X est l'asymptote de la logarithmique. Voyez ASYMPTOTE. Car comme une progression géométrique Ve toujours en décroissant, sans néanmoins arriver jamais à zéro, il s'ensuit que l'ordonnée P m Ve toujours en décroissant, sans jamais être absolument nulle. Donc, etc.

Sur la quadrature de la logarithmique, voyez QUADRATURE.

LOGARITHMIQUE SPIRALE, ou SPIRALE LOGARITHMIQUE, est une courbe dont voici la construction. Divisez un quart de cercle en un nombre quelconque de parties égales, aux points N, n, n, etc. (Pl. d'anal. fig. 22.) et retranchez des rayons C N, C n, C n, des parties continuellement proportionnelles C M, C m, C m, les points M, m, m, etc. formeront la logarithmique spirale. Par conséquent les arcs A N, A n, etc. sont les logarithmes des ordonnées ou rayons C M, C m, etc. pris sur les rayons du cercle, et en partant de son centre, qui dans cette courbe peut être considéré comme pôle. On peut donc regarder la logarithmique spirale comme une logarithmique ordinaire dont l'axe a été roulé le long d'un cercle A N, et dont les ordonnées ont été arrangées de manière qu'elles concourent au centre C, et qu'elles se trouvent prises sur les rayons C N prolongés.

Cette courbe a plusieurs propriétés singulières découvertes par M. Jacques Bernoulli son inventeur. 1°. Elle fait une infinité de tours autour de son centre C, sans jamais y arriver ; ce qu'il est facîle de démontrer : car les rayons C M, C m, C m, etc. de cette courbe forment une progression géométrique dont aucun terme ne saurait être zéro, et par conséquent la distance de la spirale à son centre C, ne peut jamais être zéro. 2°. Les angles C M m, C m m des rayons C M, C m avec la courbe, sont par-tout égaux. Car nommant C M, y, et N n, d Xe on aura = , puisque les arcs A N sont les logarithmes des y. Voyez ci-dessus LOGARITHMIQUE. Or décrivant du rayon C M un arc que l'on nommera d z, on aura = , en faisant A C = r ; donc d x = ; donc = . Donc d y = ; donc l'angle C M m est constant. 3°. La développée de cette courbe, ses caustiques par refraction et par réflexion, etc. sont d'autres logarithmes spirales : c'est pour cette raison que M. Jaques Bernoulli ordonna qu'on mit sur son tombeau une logarithmique spirale avec cette inscription, eadem mutata resurgo. Voyez l'analyse des infiniment petits, par M. de l'Hôpital. Voyez aussi DEVELOPPEE et CAUSTIQUE. (O)

LOGARITHMIQUE, pris adjectivement, (Géométrie) se dit de ce qui a rapport aux logarithmes. Voyez LOGARITHME, LOGISTIQUE.

C'est ainsi que nous disons l'Arithmétique logarithmique, pour dire le calcul des logarithmes, ou le calcul par le moyen des tables des logarithmes.

LOGARITHMIQUE