(Géométrie) Quand une ligne est divisée, de manière que la ligne entière est à l'une de ses parties, comme cette même partie est à l'autre, on dit en Géométrie que cette ligne est divisée en moyenne et extrême raison. Voici comme on trouve cette division : Sait la ligne donnée A B = a (Pl. géom. fig. 64. n. 1.) ; soit le grand segment Xe le petit sera a - x ; alors par l'hypothèse a : x : : x : a - Xe Donc a a - a x = x Xe par conséquent a a = x x + a x ; et en ajoutant 1/4 a a de chaque côté, pour faire de x x + a x + 1/4 aa un carré parfait, l'équation sera 5/4 a a = x x + a x + 1/4 a a.

Or, puisque la dernière quantité est exactement un carré, sa racine x + 1/2 a = ; et par transposition on trouvera -1/2 a = Xe Cela posé, sur A B = a, élevez à angles droits CB = 1/2 a ; ensuite tirez C A, dont le carré est égal à 2 + 2 = 5/4 a a. Donc A C = ; avec A C décrivez l'arc A D, vous aurez C A = C D ; ainsi B D = C D - C B = - 1/2 a = Xe Portez donc B D sur la ligne A B, depuis B jusqu'en E ; et la ligne A B sera coupée en moyenne et extrême raison au point E.

Cela ne peut pas se faire exactement par les nombres ; mais si on veut avoir une approximation raisonnable, il faut ajouter ensemble le carré d'un nombre quelconque, et le carré de sa moitié, et extraire par approximation la racine carrée de toute la somme ; d'où ôtant la moitié de la grandeur donnée, le reste sera le plus grand segment. Voyez APPROXIMATION, EXTRACTION, et l'article EQUATION, etc. (E)

EXTREMES d'une proportion, sont le premier et le quatrième terme. Voyez PROPORTION et MOYEN.